Moviments

Un caragol 🐌 recorre en línia recta una distància de $10.8\thinspace\mathrm m$ en $1.5\thinspace\mathrm h$. Quina distància recorrerà en $5\thinspace\mathrm{min}$?

---

Escrivim l’equació del moviment del caragol:

$$ x(t) = x_0 + vt, $$

on $x = 10.8\thinspace\mathrm m$, $x_0 = 0$, $v$ és la velocitat del caragol (desconeguda) i $t=1.5\thinspace\mathrm h$.

Com ens pregunten la distància que recorrerà, $\Delta x = x-x_0$, a $5\thinspace\mathrm{min}$, podem passar les $1.5\thinspace\mathrm h$ a minuts:

$$ 1.5\thinspace\cancel{\mathrm h}\cdot \frac{60\thinspace\mathrm{min}}{1\thinspace\cancel{\mathrm h}} = 90\thinspace\mathrm{min} $$

i així calcular la velocitat en m/min:

$$ 10.8\thinspace\mathrm m = 0 + v\cdot 90\thinspace\mathrm{min} \rightarrow v = 0.12\thinspace\mathrm{m/min} $$

La distància recorreguda en $5\thinspace\mathrm{min}$ serà, per tant:

$$ \Delta x (5\thinspace\mathrm{min}) = x(5\thinspace\mathrm{min}) - x_0 = 0.12\thinspace\mathrm{m/\cancel{min}} \cdot 5\thinspace\cancel{\mathrm{min}} = 0.6\thinspace\mathrm m $$

Un cotxe 🚗 que circula a 70.2 km/h disminueix la seva velocitat a raó de 3 m/s cada segon. Quina distància recorrerà fins a aturar-se?

---

El primer passem la velocitat inicial $v_0$ a m/s:

$$ v_0 = 70.2\thinspace\frac{\cancel{\mathrm{km}}}{\cancel{\mathrm{h}}}\cdot \frac{1000\thinspace\mathrm m}{1\thinspace\cancel{\mathrm{km}}} \cdot \frac{1\thinspace\cancel{\mathrm h}}{3600\thinspace\mathrm s} = 19.5\thinspace\mathrm{m/s} $$

La frase “disminueix la seva velocitat a raó de $3\thinspace\mathrm{m/s}$ cada segon” l’hem d’interpretar com que la seva acceleració $a=-3\thinspace\mathrm{m/s^2}$ (el signe $-$ és perquè la seva velocitat disminueix, i la velocitat la prenem positiva). Com no em donen informació sobre temps ni em demanen cap temps (sinó distància recorreguda $\Delta x$), utilitzo l’equació (3):

$$ v^2-v_0^2 = 2a\Delta x, \tag{3} $$

d’on aïllo la distància recorreguda $\Delta x$:

$$ \Delta x = \frac{v^2-v_0^2}{2a} = \frac{0^2-19.5^2}{2\cdot (-3)} = 63.375\thinspace\mathrm m $$

Des del terrat d’un gratacel de 120 m d’altura es llança una pedra amb velocitat de 5 m/s, cap avall. Calcular: a) Temps que triga a arribar al terra, b) velocitat amb què xoca contra el terra.

---

Escrivim l’equació del moviment (1) de la pedra:

$$ y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2, \tag{1} $$

on $y_0 = 120\thinspace\mathrm m$, $v_0 = -5\thinspace\mathrm{m/s}$ (cap avall) i $a=-g=-9.8\thinspace\mathrm{m/s^2 }$, de manera que l’equació particularitzada queda:

$$ y(t) = 120 - 5t + \frac{1}{2}\cdot (-9.8)\cdot t^2 = 120-5t-4.9t^2 $$

a) De l’equació (1) podem aïllar el temps que triga en arribar a terra, sabent que quan arriba a terra, $y=0$:

$$ \begin{gathered} 0 = 120 - 5t -4.9t^2 \\ 4.9t^2+5t-120=0 \\ t = \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 4.9\cdot (-120)}}{2\cdot 4.9} = \frac{-5\pm \sqrt{2377}}{9.8} = \begin{cases} 4.5\thinspace\mathrm s \\ \xcancel{-5.5\thinspace\mathrm s} \end{cases} \end{gathered} $$

b) Per calcular la velocitat amb què xoca contra el terra podem utilitzar l’equació (2) o la (3):

Utilitzant l’equació (2)

Substituint el temps pel temps d’arribada a terra: $$ v(t) = v_0 + at = -5-9.8t = -5-9.8\cdot 4.5 = -48.8\thinspace\mathrm{m/s} $$

Utilitzant l’equació (3)

Aneu amb compte en calcular $\Delta x = x-x_0 = 0-120 = -120\thinspace\mathrm{m}$, i imposant el signe $-$ quan aïlleu $v$: $$ v^2-v_0^2 = 2a\Delta x \tag{3} $$ \begin{align*} v = - \sqrt{v_0^2 + 2a\Delta x} &= - \sqrt{(-5)^2 + 2\cdot (-9.8)\cdot (0-120)} \\ &= -48.8\thinspace\mathrm{m/s} \end{align*}

Un cotxe 🚗 es desplaça per una carretera que és paral·lela a la via d’un tren. El cotxe es deté davant un semàfor que està amb llum vermella en el mateix instant que passa un tren 🚞 amb una rapidesa constant de $12\thinspace\mathrm{m/s}$. El cotxe roman detingut durant $6\thinspace\mathrm s$ i després arrenca amb una acceleració constant de $2\thinspace\mathrm{m/s^2}$. Determineu:
a) El temps que fa servir el cotxe a arribar al tren, mesurat des de l’instant en què es va aturar davant del semàfor.
b) La distància que va recórrer el cotxe des del semàfor fins que va arribar al tren.
c) La rapidesa del cotxe a l’instant que arriba al tren.

---

a) El primer que fem és escriure les equacions del moviment de cada mòbil:

\begin{align*} \text{Cotxe (MRUA): } x_\mathrm c &= x_{0_\mathrm c} + v_{0_\mathrm c}(t-t_{0_\mathrm c})+\frac{1}{2}a_\mathrm c(t-t_{0_\mathrm c})^2 \\ \text{Tren (MRU): } x_\mathrm t &= x_{0_\mathrm t} + v_\mathrm t(t-t_{0_\mathrm t}) \end{align*}

Particularitzem per al nostre cas:

$$ \begin{gathered} x_{0_\mathrm c}=x_{0_\mathrm t}=0 \\ v_{0_\mathrm c}=0;\quad v_\mathrm t = 12\thinspace\mathrm{m/s} \\ a_\mathrm c = 2\thinspace\mathrm{m/s^2} \\ t_{0_\mathrm c}=6\thinspace\mathrm s;\quad t_{0_\mathrm t} = 0 \end{gathered} $$$$ \begin{aligned} \text{Cotxe (MRUA): } x_\mathrm c &= 0 + 0\cdot(t-6)+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(t-6)^2 \\ &= (t-6)^2 = t^2-12t+36 \\ \text{Tren (MRU): } x_\mathrm t &= 0 + 12\cdot(t-0) = 12t \end{aligned} $$

A continuació imposem la condició per trobar-se:

$$ \begin{aligned} x_\mathrm c &= x_\mathrm t \\ t^2-12t+36 &= 12t \\ t^2-24t+36 &= 0 \end{aligned} $$

Aïllem el temps de trobada $t^*$:

$$ t^* = \frac{24\pm\sqrt{24^2-4\cdot 1\cdot 36}}{2} = \frac{24\pm \sqrt{432}}{2} = \begin{cases} 22.4\thinspace\mathrm s \\\\ \xcancel{1.6\thinspace\mathrm s} \end{cases} $$

on descartem la solució $t=1.6\thinspace\mathrm s$ per ser menor que els 6 s que està parat el cotxe en el semàfor. Podem comprovar això representant la gràfica de posició enfront de temps ($x-t$) per a cada mòbil:

on es veu clarament com el cotxe està parat els primers 6 s per a després arrencar accelerant (paràbola) i aconseguint al tren als 22.4 s.

---

b) Per a calcular la distància recorreguda pel cotxe només hem de substituir el temps de trobada, $t^*=22.4\thinspace\mathrm s$, en la seva equació de posició, ja que comença en $x_0 = 0$:

$$ x_{\mathrm c} (t^{*}) = t^{*2}-12t^{*}+36 = 22.4^2-12\cdot 22.4 + 36 = 268.7\thinspace\mathrm m $$

---

c) La rapidesa del cotxe quan arriba a l’alçada del tren la podem calcular utilitzant l’equació de la velocitat del cotxe, substituint $t=t^*$:

$$ v_\mathrm c(t^*) = v_{0_\mathrm c} + a_\mathrm c (t^*-t_0) = 0 + 2\cdot(22.4-6) = 32.8\thinspace\mathrm{m/s} $$

Les aspes d’un ventilador giren uniformement a raó de 90 voltes per minut (rpm). Determina: a) la seva velocitat angular, en rad/s; b) la velocitat lineal d’un punt situat a $30\thinspace\mathrm{cm}$ del centre; c) el nombre de voltes que donaran les aspes en $5\thinspace\mathrm{min}$.

---

a) Utilitzem factors de conversió:

$$ \omega = 90\thinspace\mathrm{rpm} = 90\thinspace\frac{\cancel{\mathrm{rev}}}{\cancel{\mathrm{min}}} \cdot \frac{2\pi\thinspace\mathrm{rad}}{1\thinspace\cancel{\mathrm{rev}}} \cdot \frac{1\thinspace\cancel{\mathrm{min}}}{60\thinspace\mathrm{s}} = 3\pi\thinspace\mathrm{rad/s} \approx 9.4\thinspace\mathrm{rad/s} $$

---

b) Utilitzem la relació entre les velocitats lineal i angular, amb $R=30\thinspace\mathrm{cm} = 0.3\thinspace\mathrm{m}$:

$$ v = \omega R = 3\pi\thinspace\mathrm{rad/s}\cdot 0.3\thinspace\mathrm{m} = 0.9\pi\thinspace\mathrm{m/s} \approx 2.8\thinspace\mathrm{m/s} $$

---

c) Escrivim l’equació del moviment de les aspes:

$$ \varphi(t) = \varphi_0 + \omega (t-t_0), $$

on $\varphi_0 = 0$, $\omega = 90\thinspace\mathrm{rpm}$ i $t_0 = 0$, és a dir:

$$ \varphi(t) = 90t\thinspace[\mathrm{rev}] $$

Substituint el temps per $t=5\thinspace\mathrm{min}$, obtenim l’espai angular en voltes (rev):

$$ \varphi(5\thinspace\mathrm{min}) = 90\thinspace\mathrm{rev/\cancel{min}}\cdot 5\thinspace\cancel{\mathrm{min}} = 450\thinspace\mathrm{rev} $$