Moviments
- Moviment rectilini uniforme (MRU)
- Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA)
- Caiguda lliure/llançament vertical
- Trobades
- Moviment circular uniforme (MCU)
Descarrega aquestes diapositives en format PDF 📥
Moviment rectilini uniforme (MRU)
(continua cap avall)
👇
Característiques
Les característiques del moviment rectilini uniforme (MRU) són:
- Trajectòria rectilínia.
- Velocitat $v$ constant (acceleració $a=0$).
Equació principal
L’equació principal del MRU és:
$$ x(t) = x_0 + v(t-t_0), $$on $x$ és la posició final, $x_0$ la posició inicial, $v$ la velocitat, $t$ el temps final i $t_0$ el temps inicial.
Gràfiques
Aguditza la teva comprensió de la posició, la velocitat i l’acceleració construint gràfiques de moviment en temps real amb aquest genial joc.
Exemple
Un caragol 🐌 recorre en línia recta una distància de 10.8 m en 1.5 h. Quina distància recorrerà en 5 min?
Escrivim l’equació del moviment del caragol:
$$ x(t) = x_0 + vt, $$on $x = 10.8\thinspace\mathrm m$, $x_0 = 0$, $v$ és la velocitat del caragol (desconeguda) i $t=1.5\thinspace\mathrm h$.
Com ens pregunten la distància que recorrerà, $\Delta x = x-x_0$, a $5\thinspace\mathrm{min}$, podem passar les $1.5\thinspace\mathrm h$ a minuts:
$$ 1.5\thinspace\mathrm h\cdot \frac{60\thinspace\mathrm{min}}{1\thinspace\mathrm h} = 90\thinspace\mathrm{min} $$i així calcular la velocitat en m/min:
$$ 10.8\thinspace\mathrm m = 0 + v\cdot 90\thinspace\mathrm{min} \rightarrow v = 0.12\thinspace\mathrm{m/min} $$La distància recorreguda en $5\thinspace\mathrm{min}$ serà, per tant:
$$ \Delta x (5\thinspace\mathrm{min}) = x(5\thinspace\mathrm{min}) - x_0 = 0.12\thinspace\mathrm{m/min} \cdot 5\thinspace\mathrm{min} = 0.6\thinspace\mathrm m $$Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA)
(continua cap avall)
👇
Característiques
Les característiques del moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) són:
- Trajectòria rectilínia.
- Acceleració $a$ constant (velocitat $v$ variable).
Equacions principals
Les equacions principals del MRUA són:
$$ \begin{aligned} \text{Ecuación de la posición: } x(t) &= x_0 +v_0(t-t_0) +\frac{1}{2}a(t-t_0)^2 \\ \text{Ecuación de la velocidad: } v(t) &= v_0 + a(t-t_0) \\ v^2-v_0^2 &= 2a\Delta x \end{aligned} $$on $x$ és la posició final, $x_0$ la posició inicial, $v_0$ la velocitat inicial, $v$ la velocitat final, $a$ l’acceleració, $t$ el temps final, $t_0$ el temps inicial i $\Delta x = x-x_0$ és la distància o espai recorregut.
Gràfiques
Aguditza la teva comprensió de la posició, la velocitat i l’acceleració construint gràfiques de moviment en temps real amb aquest genial joc.
Exemple
Un cotxe 🚗 que circula a 70.2 km/h disminueix la seva velocitat a raó de 3 m/s cada segon. Quina distància recorrerà fins a aturar-se?
El primer passem la velocitat inicial $v_0$ a m/s:
$$ v_0 = 70.2\thinspace\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot \frac{1000\thinspace\mathrm m}{1\thinspace\mathrm{km}} \cdot \frac{1\thinspace\mathrm h}{3600\thinspace\mathrm s} = 19.5\thinspace\mathrm{m/s} $$La frase “disminueix la seva velocitat a raó de $3\thinspace\mathrm{m/s}$ cada segon” l’hem d’interpretar com que la seva acceleració $a=-3\thinspace\mathrm{m/s^2}$ (el signe $-$ és perquè la seva velocitat disminueix, i la velocitat la prenem positiva).
Com no em donen informació sobre temps ni em demanen cap temps (sinó distància recorreguda $\Delta x$), utilitzo l’equació (3):
$$ v^2-v_0^2 = 2a\Delta x, \tag{3} $$d’on aïllo la distància recorreguda $\Delta x$:
$$ \Delta x = \frac{v^2-v_0^2}{2a} = \frac{0^2-19.5^2}{2\cdot (-3)} = 63.375\thinspace\mathrm m $$Caiguda lliure/llançament vertical
La caiguda lliure o llançament vertical és un cas especial de MRUA on l’acceleració és igual a l’acceleració de la gravetat. En el cas de la Terra, $a=-g=-9.8\thinspace\mathrm{m/s^2}$ (el signe $-$ indica que l’acceleració de la gravetat apunta sempre cap avall).
Què passa quan una bola de bitlles i una ploma es deixen caure juntes a les condicions de l’espai exterior? Brian Cox ens ho ensenya en aquest impressionant vídeo:
I quant val la gravetat en altres astres del Sistema Solar?
| Astre | $g$ | $\mathrm{m/s^2}$ |
|---|---|---|
| Sol ☀️ | 28.02 | 274.8 |
| Júpiter ♃ | 2.53 | 24.8 |
| Neptú ♆ | 1.14 | 11.2 |
| Saturn ♄ | 1.07 | 10.4 |
| Terra ♁ | 1 | 9.8 |
| Astre | $g$ | $\mathrm{m/s^2}$ |
|---|---|---|
| Venus ♀ | 0.90 | 8.9 |
| Urà ♅ | 0.89 | 8.7 |
| Mart ♂ | 0.38 | 3.7 |
| Mercuri ☿ | 0.38 | 3.7 |
| Lluna 🌙 | 0.17 | 1.6 |
Descobreix a quina altura podries saltar en altres planetes amb aquest genial vídeo:
Exemple
Des del terrat d’un gratacel de 120 m d’altura es llança una pedra amb velocitat de 5 m/s, cap avall. Calcular: a) Temps que triga a arribar al terra, b) velocitat amb què xoca contra el terra.
Escrivim l’equació del moviment (1) de la pedra:
$$ y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2, \tag{1} $$on $y_0 = 120\thinspace\mathrm m$, $v_0 = -5\thinspace\mathrm{m/s}$ (cap avall) i $a=-g=-9.8\thinspace\mathrm{m/s^2 }$, de manera que l’equació particularitzada queda:
$$ y(t) = 120 - 5t + \frac{1}{2}\cdot (-9.8)\cdot t^2 = 120-5t-4.9t^2 $$a) De l’equació (1) podem aïllar el temps que triga en arribar a terra, sabent que quan arriba a terra, $y=0$:
$$ \begin{gathered} 0 = 120 - 5t -4.9t^2 \\ 4.9t^2+5t-120=0 \\ t = \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 4.9\cdot (-120)}}{2\cdot 4.9} = \frac{-5\pm \sqrt{2377}}{9.8} = \begin{cases} 4.5\thinspace\mathrm s \\ \xcancel{-5.5\thinspace\mathrm s} \end{cases} \end{gathered} $$b) Per calcular la velocitat amb què xoca contra el terra podem utilitzar l’equació (2) o la (3):
- Utilitzant l’equació (2)
- Substituint el temps pel temps d’arribada a terra: $$ v(t) = v_0 + at = -5-9.8t = -5-9.8\cdot 4.5 = -48.8\thinspace\mathrm{m/s} $$
- Utilitzant l’equació (3)
- Aneu amb compte en calcular $\Delta x = x-x_0 = 0-120 = -120\thinspace\mathrm{m}$, i imposant el signe $-$ quan aïlleu $v$: $$ v^2-v_0^2 = 2a\Delta x \tag{3} $$ \begin{align*} v = - \sqrt{v_0^2 + 2a\Delta x} &= - \sqrt{(-5)^2 + 2\cdot (-9.8)\cdot (0-120)} \\ &= -48.8\thinspace\mathrm{m/s} \end{align*}
Trobades
Es tracta de situacions en les quals dos cossos, típicament movent-se amb un MRU o un MRUA, comencen en posicions distintes i acaben trobant-se al cap d’un cert temps.
Seguim aquests tres passos:
- Escriure les equacions de la posició de cada cos.
- Imposar la condició de trobada, és a dir, que totes dues posicions coincideixen quan es troben.
- Aïllar la magnitud que em demanin.
Exemple
Un cotxe 🚗 es desplaça per una carretera que és paral·lela a la via d’un tren. El cotxe es deté davant un semàfor que està amb llum vermella en el mateix instant que passa un tren 🚞 amb una rapidesa constant de 12 m/s. El cotxe roman detingut durant 6 s i després arrenca amb una acceleració constant de 2 m/s2.
Determineu:
a) El temps que fa servir el cotxe a arribar al tren, mesurat des de l’instant en què es va aturar davant del semàfor.
b) La distància que va recórrer el cotxe des del semàfor fins que va arribar al tren.
c) La rapidesa del cotxe a l’instant que arriba al tren.
a) El primer que fem és escriure les equacions del moviment de cada mòbil:
\begin{align*} \text{Cotxe (MRUA): } x_\mathrm c &= x_{0_\mathrm c} + v_{0_\mathrm c}(t-t_{0_\mathrm c})+\frac{1}{2}a_\mathrm c(t-t_{0_\mathrm c})^2 \\ \text{Tren (MRU): } x_\mathrm t &= x_{0_\mathrm t} + v_\mathrm t(t-t_{0_\mathrm t}) \end{align*}
Particularitzem per al nostre cas:
$$ \begin{gathered} x_{0_\mathrm c}=x_{0_\mathrm t}=0 \\ v_{0_\mathrm c}=0;\quad v_\mathrm t = 12\thinspace\mathrm{m/s} \\ a_\mathrm c = 2\thinspace\mathrm{m/s^2} \\ t_{0_\mathrm c}=6\thinspace\mathrm s;\quad t_{0_\mathrm t} = 0 \end{gathered} $$$$ \begin{aligned} \text{Cotxe (MRUA): } x_\mathrm c &= 0 + 0\cdot(t-6)+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(t-6)^2 \\ &= (t-6)^2 = t^2-12t+36 \\ \text{Tren (MRU): } x_\mathrm t &= 0 + 12\cdot(t-0) = 12t \end{aligned} $$A continuació imposem la condició per trobar-se:
$$ \begin{aligned} x_\mathrm c &= x_\mathrm t \\ t^2-12t+36 &= 12t \\ t^2-24t+36 &= 0 \end{aligned} $$Aïllem el temps de trobada $t^*$:
$$ t^* = \frac{24\pm\sqrt{24^2-4\cdot 1\cdot 36}}{2} = \frac{24\pm \sqrt{432}}{2} = \begin{cases} 22.4\thinspace\mathrm s \\\\ 1.6\thinspace\mathrm s\xcancel{1.6\thinspace\mathrm s} \end{cases} $$on descartem la solució $t=1.6\thinspace\mathrm s$ per ser menor que els 6 s que està parat el cotxe en el semàfor.
Podem comprovar això representant la gràfica de posició enfront de temps ($x-t$) per a cada mòbil:
on es veu clarament com el cotxe està parat els primers 6 s per a després arrencar accelerant (paràbola) i arribant al tren als 22.4 s.
b) Per a calcular la distància recorreguda pel cotxe només hem de substituir el temps de trobada, $t^{*}=22.4\thinspace\mathrm s$, en la seva equació de posició, ja que comença en $x_0 = 0$:
$$ x_{\mathrm c} (t^{*}) = t^{*2}-12t^{*}+36 = 22.4^2-12\cdot 22.4 + 36 = 268.7\thinspace\mathrm m $$c) La rapidesa del cotxe quan arriba a l’alçada del tren la podem calcular utilitzant l’equació de la velocitat del cotxe, substituint $t=t^*$:
$$ v_\mathrm c(t^*) = v_{0_\mathrm c} + a_\mathrm c (t^*-t_0) = 0 + 2\cdot(22.4-6) = 32.8\thinspace\mathrm{m/s} $$Moviment circular uniforme (MCU)
(continua cap avall)
👇
Característiques
Les característiques del moviment circular uniforme (MCU) són:
- Trajectòria circular.
- Mòdul de la velocitat constant (acceleració tangencial $a_\mathrm t=0$).
Equació principal
L’equació principal del MCU és:
$$ \varphi(t) = \varphi_0 + \omega (t-t_0), $$on $\varphi$ és la posició angular final, $\varphi_0$ la posició angular inicial, $\omega$ la freqüència o velocitat angular, $t$ el temps final i $t_0$ el temps inicial.
- Període $T$
- El temps que triga el mòbil a completar una volta completa es diu període, $T$.
- Freqüència $f$
- El nombre de voltes que dona el mòbil per unitat de temps és la freqüència, $f$, i està relacionada amb el període: $$ f = \frac{1}{T}\thinspace \left[\frac{1}{\mathrm{s}} = \mathrm{s^{-1}} = \mathrm{Hz}\right] $$
La freqüència o velocitat angular, $\omega$, està relacionada amb el període i la freqüència a través de les expressions:
$$ \omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f $$Les magnituds lineals i les angulars es relacionen a través del radi $R$: \begin{align*} e &= \varphi R \\ v &= \omega R \end{align*}
Acceleració centrípeta $a_\mathrm c$
També anomenada acceleració normal, és una acceleració que sorgeix del canvi de direcció de la velocitat. El seu mòdul és igual a:
$$ a_\mathrm c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R $$i sempre es dirigeix cap al centre de la circumferència.
Exemple
Les aspes d’un ventilador giren uniformement a raó de 90 voltes per minut (rpm). Determina: a) la seva velocitat angular, en rad/s; b) la velocitat lineal d’un punt situat a 30 cm del centre; c) el nombre de voltes que donaran les aspes en 5 min.
a) Utilitzem factors de conversió:
$$ \omega = 90\thinspace\mathrm{rpm} = 90\thinspace\frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{min}} \cdot \frac{2\pi\thinspace\mathrm{rad}}{1\thinspace\mathrm{rev}} \cdot \frac{1\thinspace\mathrm{min}}{60\thinspace\mathrm{s}} = 3\pi\thinspace\mathrm{rad/s} \approx 9.4\thinspace\mathrm{rad/s} $$b) Utilitzem la relació entre les velocitats lineal i angular, amb $R=30\thinspace\mathrm{cm} = 0.3\thinspace\mathrm{m}$:
$$ v = \omega R = 3\pi\thinspace\mathrm{rad/s}\cdot 0.3\thinspace\mathrm{m} = 0.9\pi\thinspace\mathrm{m/s} \approx 2.8\thinspace\mathrm{m/s} $$c) Escrivim l’equació del moviment de les aspes:
$$ \varphi(t) = \varphi_0 + \omega (t-t_0), $$on $\varphi_0 = 0$, $\omega = 90\thinspace\mathrm{rpm}$ i $t_0 = 0$, és a dir:
$$ \varphi(t) = 90t\thinspace[\mathrm{rev}] $$Substituint el temps per $t=5\thinspace\mathrm{min}$, obtenim l’espai angular en voltes (rev):
$$ \varphi(5\thinspace\mathrm{min}) = 90\thinspace\mathrm{rev/min}\cdot 5\thinspace\mathrm{min} = 450\thinspace\mathrm{rev} $$Exportar a PDF
📥 Punxa aquí i segueix aquestes instruccions:
- Obre el diàleg d’Impressió (Control-P si estàs en Windows).
- Canvia el Destí a Desar com PDF.
- Canvia el Disseny a Horitzontal.
- Canvia els Marges a Cap.
- Activa l’opció Gràfics de fons.
El procés, en principi, només funciona amb Google Chrome.